Родился на станции Узловая Тульской области. Трудовую деятельность начал с 17 лет на стройке. После окончания профтехучилища Народного комиссариата путей сообщения в 1926 году работал помощником машиниста, затем машинистом паровоза. В 1934 году окончил Московский институт химического машиностроения. Работал инженером на химическом заводе в Дзержинске, Горьковской области.
В 1938 году был мобилизован на работу в органы госбезопасности. С 1939 года был начальником отделения научно-технической разведки. Являлся одним из инициаторов начала работы внешней разведки по атомной тематике.
В 1943 году был направлен в качестве заместителя резидента по научно-технической разведке в Нью-Йорк. Под его руководством были добыты важнейшие материалы по атомной энергии и её использованию в военных целях, а также информация и образцы техники по вопросам авиации, химии, медицины.
По возвращении в Москву в 1945 году Квасников был назначен заместителем начальника отдела научно-технической разведки, а в 1947 году он возглавил этот отдел. До ухода в отставку в 1963 году Квасников являлся начальником отдела, а затем управления научно-технической разведки ПГУ КГБ СССР.